二項分布 - ヘロログ

二項分布は、「成功」か「失敗」の試行を複数回繰り返したときの成功回数の分布を表す、離散型確率分布の代表格である。

コイン投げで表が出る回数、製品検査で不良品が見つかる個数、アンケートで「はい」と答える人数など、二項分布が適用できる場面は非常に多い。機械学習の分類問題における精度評価や、A/Bテストの統計的検定にも用いられる。

二項分布はベルヌーイ分布を一般化したものであり、 $n = 1$ の場合がベルヌーイ分布に相当する。また、試行回数が増えると正規分布に近似できるという重要な性質（中心極限定理）をもつ。

定義

成功確率 $p$ （ $0 < p < 1$ ）のベルヌーイ試行を $n$ 回独立に行うとき、成功回数を $Y$ とする。このとき $Y$ の従う分布を二項分布（binomial distribution）といい、 $\text{Bin}(n, p)$ と表す。

二項分布の確率関数

P(Y = y) = {}_n C_y \, p^y (1-p)^{n-y}, \quad y = 0, 1, \ldots, n

ここで ${}_n C_y = \dfrac{n!}{y!(n-y)!}$ は二項係数である。 $q = 1 - p$ とおくと

P(Y = y) = {}_n C_y \, p^y q^{n-y}

と書ける。この確率関数は、 $n$ 回の試行のうち $y$ 回成功する組合せの数 ${}_n C_y$ と、その特定の組合せが起きる確率 $p^y q^{n-y}$ の積として理解できる。

確率分布のグラフ

二項分布のグラフは、パラメータ $n$ と $p$ によって形が変わる。以下は $n = 10$ 、 $p = 0.3$ の場合である。

図1: 二項分布 Bin(10, 0.3) の確率関数

$p = 0.3$ のように $p < 0.5$ の場合は左に偏った形になり、 $p > 0.5$ の場合は右に偏る。 $p = 0.5$ のとき、分布は左右対称になる。

期待値と分散

二項分布の期待値と分散は、ベルヌーイ分布の性質から導ける。 $Y \sim \text{Bin}(n, p)$ のとき

Y = X_1 + X_2 + \cdots + X_n

と表せる。ここで $X_i$ は $i$ 回目の試行の結果（成功なら1、失敗なら0）であり、各 $X_i$ は独立にベルヌーイ分布 $\text{Bin}(1, p)$ に従う。

期待値

期待値の加法性より

\begin{aligned} E[Y] &= E[X_1] + E[X_2] + \cdots + E[X_n] \\[5pt] &= p + p + \cdots + p = np \end{aligned}

期待値

E[Y] = np

分散

$X_1, \ldots, X_n$ は独立なので、分散も加法性が成り立つ。

\begin{aligned} V[Y] &= V[X_1] + V[X_2] + \cdots + V[X_n] \\[5pt] &= p(1-p) + p(1-p) + \cdots + p(1-p) = np(1-p) \end{aligned}

分散

V[Y] = np(1-p) = npq

ポイント

二項分布 $\text{Bin}(n, p)$ では

期待値： $E[Y] = np$
分散： $V[Y] = np(1-p)$
標準偏差： $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

確率母関数

確率母関数も同様に、ベルヌーイ分布の性質から導ける。 $X_1, \ldots, X_n$ が独立なので

\begin{aligned} G(s) &= E[s^Y] = E[s^{X_1 + \cdots + X_n}] \\[5pt] &= E[s^{X_1}] \times E[s^{X_2}] \times \cdots \times E[s^{X_n}] \\[5pt] &= (ps + q)^n \end{aligned}

確率母関数

G(s) = (ps + q)^n = (ps + 1 - p)^n

再生性

二項分布には再生性という重要な性質がある。

二項分布の再生性

$Y_1 \sim \text{Bin}(n_1, p)$ 、 $Y_2 \sim \text{Bin}(n_2, p)$ で、 $Y_1$ と $Y_2$ が独立ならば

Y_1 + Y_2 \sim \text{Bin}(n_1 + n_2, p)

これは確率母関数を用いて証明できる。

\begin{aligned} E[s^{Y_1 + Y_2}] &= E[s^{Y_1}] \times E[s^{Y_2}] \\[5pt] &= (ps + q)^{n_1} \times (ps + q)^{n_2} \\[5pt] &= (ps + q)^{n_1 + n_2} \end{aligned}

これは $\text{Bin}(n_1 + n_2, p)$ の確率母関数に一致する。

再生性の直感的な意味は明快である。成功確率 $p$ の試行を $n_1$ 回行った成功回数と、同じ試行を $n_2$ 回行った成功回数を合計すれば、 $n_1 + n_2$ 回の試行における成功回数になる。

計算例

例1：コイン投げ

公平なコインを5回投げるとき、表が出る回数 $Y$ は二項分布 $\text{Bin}(5, 0.5)$ に従う。

期待値と分散を求める。

\begin{aligned} E[Y] &= np = 5 \times 0.5 = 2.5 \\[5pt] V[Y] &= np(1-p) = 5 \times 0.5 \times 0.5 = 1.25 \end{aligned}

表がちょうど3回出る確率は

P(Y = 3) = {}_5 C_3 \times 0.5^3 \times 0.5^2 = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 0.3125

例2：品質検査

ある工場の不良品率は5%である。20個の製品を検査するとき、不良品の個数 $Y$ は $\text{Bin}(20, 0.05)$ に従う。

\begin{aligned} E[Y] &= 20 \times 0.05 = 1 \\[5pt] V[Y] &= 20 \times 0.05 \times 0.95 = 0.95 \end{aligned}

不良品が1個も含まれない確率は

P(Y = 0) = {}_{20} C_0 \times 0.05^0 \times 0.95^{20} = 0.95^{20} \approx 0.358

不良品が1個以上含まれる確率は

P(Y \geq 1) = 1 - P(Y = 0) \approx 1 - 0.358 = 0.642

練習問題

問1. あるバスケットボール選手のフリースロー成功率は80%である。10本のフリースローを打つとき、成功回数

Y

の期待値と標準偏差を求めよ。

$Y \sim \text{Bin}(10, 0.8)$ である。

\begin{aligned} E[Y] &= np = 10 \times 0.8 = 8 \\[5pt] V[Y] &= np(1-p) = 10 \times 0.8 \times 0.2 = 1.6 \\[5pt] \sigma &= \sqrt{1.6} \approx 1.265 \end{aligned}

問2. サイコロを12回振るとき、1の目が出る回数

Y

について、

P(Y = 2)

を求めよ。

1の目が出る確率は $p = \dfrac{1}{6}$ なので、 $Y \sim \text{Bin}\left(12, \dfrac{1}{6}\right)$ である。

\begin{aligned} P(Y = 2) &= {}_{12} C_2 \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^2 \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{10} \\[5pt] &= 66 \times \dfrac{1}{36} \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{10} \\[5pt] &\approx 66 \times 0.0278 \times 0.1615 \approx 0.296 \end{aligned}

問3.

Y_1 \sim \text{Bin}(8, 0.4)

、

Y_2 \sim \text{Bin}(12, 0.4)

で、

Y_1

と

Y_2

が独立のとき、

Y_1 + Y_2

の期待値と分散を求めよ。

再生性より $Y_1 + Y_2 \sim \text{Bin}(20, 0.4)$ である。

\begin{aligned} E[Y_1 + Y_2] &= 20 \times 0.4 = 8 \\[5pt] V[Y_1 + Y_2] &= 20 \times 0.4 \times 0.6 = 4.8 \end{aligned}

まとめ

項目	内容
分布名	二項分布（binomial distribution）
記法	$\text{Bin}(n, p)$
確率関数	$P(Y = y) = {}_n C_y \, p^y (1-p)^{n-y}$ 　（ $y = 0, 1, \ldots, n$ ）
期待値	$E[Y] = np$
分散	$V[Y] = np(1-p)$
確率母関数	$G(s) = (ps + 1 - p)^n$
再生性	$\text{Bin}(n_1, p) + \text{Bin}(n_2, p) = \text{Bin}(n_1 + n_2, p)$ （独立の場合）

Pythonで実装する

Pythonを使って二項分布の計算やシミュレーションを行う。

binomial_distribution.py

import numpy as np
from scipy import stats
from scipy.special import comb

# パラメータ設定
n, p = 10, 0.3
q = 1 - p

# 期待値と分散（理論値）
E_Y = n * p
V_Y = n * p * q

print(f"=== 二項分布 Bin({n}, {p}) ===")
print(f"期待値（理論値）: E[Y] = {E_Y}")
print(f"分散（理論値）  : V[Y] = {V_Y}")
print(f"標準偏差       : σ = {np.sqrt(V_Y):.4f}")

# scipy.statsを使用した計算
dist = stats.binom(n, p)
print(f"\nscipy.statsによる確認:")
print(f"期待値: {dist.mean()}")
print(f"分散  : {dist.var()}")

# 確率関数
print(f"\n確率関数 P(Y=y):")
for y in range(n + 1):
    prob = dist.pmf(y)
    bar = "█" * int(prob * 50)
    print(f"  P(Y={y:2d}) = {prob:.4f} {bar}")

# 累積分布関数
print(f"\nP(Y ≤ 3) = {dist.cdf(3):.4f}")
print(f"P(Y ≥ 5) = {1 - dist.cdf(4):.4f}")

# シミュレーション
np.random.seed(42)
samples = stats.binom.rvs(n, p, size=10000)
print(f"\nシミュレーション（10000回）:")
print(f"標本平均: {np.mean(samples):.4f}")
print(f"標本分散: {np.var(samples, ddof=0):.4f}")

=== 二項分布 Bin(10, 0.3) === 期待値（理論値）: E[Y] = 3.0 分散（理論値） : V[Y] = 2.1 標準偏差 : σ = 1.4491 scipy.statsによる確認: 期待値: 3.0 分散 : 2.1 確率関数 P(Y=y): P(Y= 0) = 0.0282 █ P(Y= 1) = 0.1211 ██████ P(Y= 2) = 0.2335 ███████████ P(Y= 3) = 0.2668 █████████████ P(Y= 4) = 0.2001 ██████████ P(Y= 5) = 0.1029 █████ P(Y= 6) = 0.0368 █ P(Y= 7) = 0.0090 P(Y= 8) = 0.0014 P(Y= 9) = 0.0001 P(Y=10) = 0.0000 P(Y ≤ 3) = 0.6496 P(Y ≥ 5) = 0.1503 シミュレーション（10000回）: 標本平均: 2.9716 標本分散: 2.0536

シミュレーション結果が理論値（期待値3.0、分散2.1）に近い値を示している。確率関数のバーチャートからも、 $y = 3$ 付近で最大になる様子が確認できる。