F検定（等分散性の検定）

「2つの製造ラインで製品の品質にばらつきの差があるか」「新しい測定機器と従来の機器で精度に違いがあるか」。こうした問いに答えるために、2つの母集団の分散を比較する手法が必要となる。その代表格がF検定（等分散性の検定）である。

F検定の「F」は、統計学の父と呼ばれるロナルド・フィッシャー（Ronald Fisher, 1890-1962）に由来する。フィッシャーは1920年代に農業試験場での実験計画法の研究を通じて、分散比の分布を導いた。後に統計学者のジョージ・W・スネデカーがフィッシャーに敬意を表して「F分布」「F検定」と命名した。F検定は今日でも、品質管理や医学研究など幅広い分野で活用されている。

本記事では、F検定の基本的な考え方から、具体的な計算方法、t検定との関係まで解説する。F分布や統計的仮説検定の基礎知識があると理解しやすい。

F検定とは

F検定は、2つの母集団の分散が等しいかどうかを検定する手法である。正確には「等分散性の検定」や「分散比の検定」とも呼ばれる。

F検定が必要となる主な場面は以下の通りである。

• 品質管理：2つの製造ラインの製品ばらつきを比較
• 測定精度の評価：新旧の測定機器の精度を比較
• t検定の前提確認：2標本t検定（スチューデント）は等分散を仮定するため、事前にF検定で確認
• 医学研究：治療法による効果のばらつきを比較

問題設定と仮説

群Aから n_A 個の標本 X_{A1}, X_{A2}, \ldots, X_{An_A} が得られ、群Bから n_B 個の標本 X_{B1}, X_{B2}, \ldots, X_{Bn_B} が得られたとする。各群の母集団は正規分布に従うと仮定する。

母平均 \mu_A, \mu_B は未知とし、2つの母分散が等しいかを検定する。

帰無仮説と対立仮説

片側検定を行う場合は、対立仮説を H_1: \sigma_A^2 < \sigma_B^2 または H_1: \sigma_A^2 > \sigma_B^2 とする。

検定統計量

各群の不偏分散を計算する。

帰無仮説 H_0: \sigma_A^2 = \sigma_B^2 のもとで、検定統計量

は自由度 (n_B - 1, n_A - 1) のF分布に従う。

なぜF分布に従うのか

正規母集団からの標本について、\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2} は自由度 n-1 のカイ二乗分布に従う。したがって、帰無仮説のもと（\sigma_A^2 = \sigma_B^2）では

となり、これは自由度 (n_B-1, n_A-1) のF分布の定義そのものである。

棄却域と判定

F分布は非対称な分布であるため、両側検定と片側検定で棄却域の設定が異なる。

両側検定

対立仮説 H_1: \sigma_A^2 \neq \sigma_B^2 のとき、有意水準 \alpha で次の条件を満たせば帰無仮説を棄却する。

ここで F_{\alpha/2}(d_1, d_2) は自由度 (d_1, d_2) のF分布の上側 \dfrac{100\alpha}{2}%点である。

片側検定

計算例

【解答】

Step 1：仮説の設定

「差があるか」を調べるので両側検定を行う。

Step 2：統計量の計算

まず、各群の標本平均と不偏分散を計算する。

不偏分散を計算する。

Step 3：検定統計量の計算

s_B^2 > s_A^2 なので、ラインBの分散を分子に置く。

Step 4：棄却域との比較

自由度 (9, 11) のF分布の上側2.5%点は F_{0.025}(9, 11) = 3.588 である。

検定統計量が棄却域に入るので、帰無仮説を棄却する。

結論：有意水準5%で、2つの製造ラインの分散には有意な差がある。ラインBはラインAよりばらつきが大きく、製品の品質安定性に問題がある可能性がある。

t検定との関係

独立な2標本t検定（スチューデントのt検定）は、2群の母分散が等しいこと（等分散）を仮定している。そのため、t検定を実施する前にF検定で等分散性を確認することが推奨されてきた。

従来のアプローチ

1. F検定で等分散性を検定
2. 等分散が棄却されなければ → スチューデントのt検定
3. 等分散が棄却されれば → ウェルチのt検定

現代的なアプローチ

しかし近年では、以下の理由からこの2段階アプローチは推奨されなくなっている。

• F検定は正規性からの逸脱に敏感で、実用上の信頼性に欠ける
• 2回の検定を行うことで全体の第一種の過誤確率が膨らむ
• ウェルチのt検定は等分散でも等分散でなくても適切な結果を与える

前提条件と注意点

正規性の仮定

F検定は母集団が正規分布に従うことを仮定している。t検定は正規性からの逸脱にある程度頑健だが、F検定は正規性の仮定に対して敏感である。つまり、データが正規分布から外れると、検定結果の信頼性が低下する。

代替手法

正規性が疑わしい場合や、外れ値が存在する場合は、以下の代替手法が利用できる。

練習問題

まとめ

Python実装

SciPyを使ったF検定の実装例を示す。

import numpy as np
from scipy import stats

# === F検定（等分散性の検定）===
print("=== F検定：製造ラインの精度比較 ===")

# データ
line_a = np.array([50.2, 49.8, 50.5, 49.7, 50.3, 50.1, 49.9, 50.4, 50.0, 49.6, 50.2, 50.1])
line_b = np.array([49.5, 51.2, 48.8, 50.8, 49.1, 51.0, 49.3, 50.7, 49.0, 51.5])

n_a, n_b = len(line_a), len(line_b)

# 不偏分散の計算
var_a = np.var(line_a, ddof=1)
var_b = np.var(line_b, ddof=1)

print(f"ラインA: n={n_a}, 平均={np.mean(line_a):.3f}, 分散={var_a:.4f}")
print(f"ラインB: n={n_b}, 平均={np.mean(line_b):.3f}, 分散={var_b:.4f}")

# F統計量（大きい分散を分子に）
F = var_b / var_a
df1, df2 = n_b - 1, n_a - 1

print(f"\nF統計量 = {F:.3f}")
print(f"自由度 = ({df1}, {df2})")

# P値（両側検定）
p_value = 2 * min(stats.f.sf(F, df1, df2), stats.f.cdf(F, df1, df2))
print(f"P値（両側） = {p_value:.6f}")

# 臨界値
alpha = 0.05
F_crit = stats.f.ppf(1 - alpha/2, df1, df2)
print(f"臨界値 F_0.025({df1},{df2}) = {F_crit:.3f}")

# 判定
if F > F_crit:
    print("→ 帰無仮説を棄却（分散に有意な差がある）")
else:
    print("→ 帰無仮説を棄却しない")

print()

# === レヴェーン検定（正規性に頑健な等分散検定）===
print("=== レヴェーン検定 ===")
stat_levene, p_levene = stats.levene(line_a, line_b)
print(f"統計量 = {stat_levene:.3f}")
print(f"P値 = {p_levene:.6f}")

print()

# === F検定を行う関数 ===
def f_test(x, y, alpha=0.05, alternative='two-sided'):
    """
    F検定を実行する関数
    
    Parameters:
    -----------
    x, y : array-like
        2つの標本データ
    alpha : float
        有意水準
    alternative : str
        'two-sided'（両側）, 'greater'（x の分散が大きい）, 'less'（y の分散が大きい）
    
    Returns:
    --------
    dict : F統計量、P値、判定結果
    """
    x, y = np.array(x), np.array(y)
    n_x, n_y = len(x), len(y)
    var_x, var_y = np.var(x, ddof=1), np.var(y, ddof=1)
    
    # F統計量
    F = var_x / var_y
    df1, df2 = n_x - 1, n_y - 1
    
    # P値の計算
    if alternative == 'two-sided':
        p_value = 2 * min(stats.f.sf(F, df1, df2), stats.f.cdf(F, df1, df2))
    elif alternative == 'greater':
        p_value = stats.f.sf(F, df1, df2)
    else:  # 'less'
        p_value = stats.f.cdf(F, df1, df2)
    
    reject = p_value < alpha
    
    return {
        'F_statistic': F,
        'df': (df1, df2),
        'p_value': p_value,
        'reject_H0': reject,
        'var_x': var_x,
        'var_y': var_y
    }

# 使用例
print("=== f_test関数の使用例 ===")
result = f_test(line_a, line_b)
print(f"F統計量 = {result['F_statistic']:.4f}")
print(f"自由度 = {result['df']}")
print(f"P値 = {result['p_value']:.6f}")
print(f"帰無仮説を棄却: {result['reject_H0']}")