適合度検定

「サイコロの出目は本当に均等か？」「アンケート結果は想定した割合と一致しているか？」「観測データはポアソン分布に従っているか？」――このように、データが理論的に予想される分布と合っているかを確かめたい場面は実務・研究を問わず頻繁に現れる。

こうした問題に答える手法が適合度検定（goodness of fit test）である。1900年にイギリスの統計学者カール・ピアソン（Karl Pearson, 1857–1936）が発表したこの検定は、観測度数と理論的に期待される度数のずれをカイ二乗分布を用いて評価する。母比率の検定や独立性の検定など、多くの検定手法の基礎となる重要な手法である。

適合度検定とは

カテゴリの個数を I とし、それぞれの生起確率を p_i（1 \leq i \leq I）とおく。総度数を n、カテゴリ i の観測度数を x_i、帰無仮説のもとでの p_i の推定量を \hat{p}_i とする。

ピアソンのカイ二乗統計量

ピアソンのカイ二乗適合度検定統計量は次のように定義される。

ここで n\hat{p}_i は期待度数（expected frequency）と呼ばれる。この統計量は、観測度数と期待度数のずれが大きいほど大きな値をとる。

帰無仮説下の分布と自由度

帰無仮説のもとで n \to \infty のとき、T は漸近的に自由度 d のカイ二乗分布に従う。自由度は

で与えられる。ここで I - 1 は制約のないフルモデル（飽和モデル）で自由に動けるパラメータの個数であり、k は帰無仮説のもとでデータから推定するパラメータの個数である。

帰無仮説が生起確率のすべてを具体的に指定している場合（単純帰無仮説）は k = 0 であるから、自由度は d = I - 1 となる。一方、帰無仮説が「ポアソン分布に従う」のような形で分布の形だけを指定し、パラメータ \lambda をデータから推定する場合は k = 1 となり、自由度は d = I - 2 である。

有意水準 \alpha の検定は、T \geq \chi^2_{\alpha}(d) のとき帰無仮説を棄却する（右片側検定）。

計算例：サイコロの一様性検定

解答

ステップ1：仮説の設定

すべての確率を具体的に指定しているので単純帰無仮説であり、推定するパラメータは k = 0 である。

ステップ2：カイ二乗統計量の計算

ステップ3：棄却域との比較

自由度 d = 6 - 1 = 5 のカイ二乗分布の上側5%点は \chi^2_{0.05}(5) = 11.07 である。

ステップ4：結論

T = 5.000 は棄却域に入らないので、帰無仮説を棄却しない。有意水準5%では「サイコロの出目は均等でない」とは言えない（P値 = 0.416）。

イエーツの補正

期待度数が十分大きくない場合には、イエーツの補正（Yates' correction）が用いられることがある。これはカイ二乗統計量の分子にある (x_i - n\hat{p}_i)^2 を

に置き換える補正法である。離散的な分布（観測度数は整数値）を連続的なカイ二乗分布で近似する際の誤差を軽減するもので、中心極限定理における連続修正に対応している。主にカテゴリ数が2の場合（2×2分割表）に用いられる。

自由度の求め方

自由度の計算は「フルモデルの自由パラメータ数 − 帰無仮説下の自由パラメータ数」として理解できる。

計算例：曜日ごとの来客数

解答

帰無仮説 H_0: p_1 = \cdots = p_7 = \dfrac{1}{7}、自由度 d = 7 - 1 = 6。期待度数は各曜日 \dfrac{150}{7} = 21.43 である。

自由度6のカイ二乗分布の上側5%点は \chi^2_{0.05}(6) = 12.59 であり、T = 25.19 > 12.59 なので帰無仮説を棄却する。有意水準5%で「来客数は曜日によって異なる」と結論できる（P値 < 0.001）。土日の来客が特に多いことが統計量を大きくしている要因である。

他の検定との関係

母比率の検定は適合度検定の特殊ケース

母比率の検定は、カテゴリ数 I = 2（「成功」と「失敗」）の適合度検定と見なせる。帰無仮説 \theta = \theta_0 のもとで p_1 = \theta_0、p_2 = 1 - \theta_0 とすると、カイ二乗統計量は

となり、これは母比率の検定における検定統計量 Z^2 に等しい。すなわち、母比率の検定のZ統計量の2乗はカイ二乗統計量に一致する。

ポアソン分布の検定

ポアソン分布のパラメータに関する検定統計量 \dfrac{(\hat{\lambda} - \lambda_0)^2}{\lambda_0} も、カテゴリ数2（X = \lambda_0 か否か）の適合度検定の特別な場合と解釈できる。

練習問題

まとめ

Python実装

SciPyの scipy.stats.chisquare で適合度検定を実行できる。期待度数が一様でない場合は f_exp 引数で指定する。

import numpy as np
from scipy import stats

# ========== 例題1: サイコロの一様性検定 ==========
print("【サイコロの一様性検定】")
observed = np.array([25, 17, 15, 23, 24, 16])
n = observed.sum()
expected = np.array([n / 6] * 6)

# scipy.stats.chisquare（一様分布がデフォルト）
chi2, p_value = stats.chisquare(observed)
print(f"観測度数: {observed}")
print(f"期待度数: {expected}")
print(f"カイ二乗統計量 T = {chi2:.4f}")
print(f"自由度 = {len(observed) - 1}")
print(f"P値 = {p_value:.4f}")
print(f"結論: 帰無仮説を棄却しない")

print()
print("=" * 50)
print()

# ========== 例題2: 曜日ごとの来客数 ==========
print("【曜日ごとの来客数の一様性検定】")
observed2 = np.array([15, 12, 18, 14, 22, 35, 34])
chi2_2, p_2 = stats.chisquare(observed2)
print(f"観測度数: {observed2}")
print(f"カイ二乗統計量 T = {chi2_2:.4f}")
print(f"自由度 = {len(observed2) - 1}")
print(f"P値 = {p_2:.6f}")
print(f"結論: 帰無仮説を棄却（有意差あり）")

print()
print("=" * 50)
print()

# ========== ポアソン適合度検定 ==========
print("【ポアソン適合度検定】")
obs_poi = np.array([10, 25, 30, 20, 10, 5])
vals = np.array([0, 1, 2, 3, 4, 5.5])
n_poi = obs_poi.sum()
lam_hat = np.sum(obs_poi * vals) / n_poi
print(f"推定 λ = {lam_hat:.4f}")

# 期待度数の計算
exp_poi = []
for k in range(5):
    exp_poi.append(n_poi * stats.poisson.pmf(k, lam_hat))
exp_poi.append(n_poi * (1 - stats.poisson.cdf(4, lam_hat)))
exp_poi = np.array(exp_poi)
print(f"期待度数: {np.round(exp_poi, 2)}")

# 手動でカイ二乗統計量を計算（λを推定→自由度調整が必要）
chi2_poi = np.sum((obs_poi - exp_poi)**2 / exp_poi)
df_poi = len(obs_poi) - 1 - 1  # λを推定したので k=1
p_poi = 1 - stats.chi2.cdf(chi2_poi, df_poi)
print(f"カイ二乗統計量 T = {chi2_poi:.4f}")
print(f"自由度 = {df_poi}（カテゴリ{len(obs_poi)} - 1 - 1）")
print(f"P値 = {p_poi:.4f}")
print(f"結論: 帰無仮説を棄却しない")