対数正規分布

対数正規分布（log-normal distribution）は、対数をとると正規分布に従う確率変数の分布である。正の値のみをとり、右に長い裾をもつ分布形状が特徴で、現実世界の多くの現象をモデル化するのに適している。

所得分布、株価の変動、生物の体重や寿命、粒子のサイズ分布など、「掛け算的に変動する量」は対数正規分布に従うことが多い。これは中心極限定理の「積」バージョンとして理解できる。多数の独立な正の確率変数の積は、対数正規分布に近づく。

定義

確率変数 Y が正規分布 N(\mu, \sigma^2) に従うとき、X = e^Y は対数正規分布に従う。

逆に言えば、X \sim \Lambda(\mu, \sigma^2) のとき \log X \sim N(\mu, \sigma^2) となる。パラメータ \mu と \sigma^2 は、対数をとった後の正規分布のパラメータであることに注意する。

確率密度関数

対数正規分布 \Lambda(\mu, \sigma^2) の確率密度関数は以下のようになる。

x \leq 0 では f(x) = 0 である。確率密度関数の特徴として、分母に x が現れることと、指数部分に \log x が含まれることが挙げられる。

グラフ

パラメータ \sigma を変化させたときの対数正規分布の形状を示す（\mu = 0 で固定）。

\sigma が小さいほど分布は左に集中し、\sigma が大きくなると右側に裾が長く伸びる。どの場合も正の値のみをとり、左側で 0 に漸近する。

確率密度関数の導出

Y \sim N(\mu, \sigma^2) のとき、X = e^Y の確率密度関数を変数変換により導出する。

正規分布 N(\mu, \sigma^2) の確率密度関数は

変換 X = e^Y の逆変換は Y = \log X である。ヤコビアンを計算すると

したがって、X の確率密度関数は

これが対数正規分布の確率密度関数である。

期待値と分散

対数正規分布 \Lambda(\mu, \sigma^2) の期待値と分散は次のようになる。

【導出】 X = e^Y、Y \sim N(\mu, \sigma^2) のとき、正規分布のモーメント母関数 M_Y(t) = E[e^{tY}] = \exp\left(\mu t + \dfrac{\sigma^2 t^2}{2}\right) を利用する。

期待値 E[X] は

E[X^2] は

よって分散は

一般に、k 次のモーメントは E[X^k] = M_Y(k) = \exp\left(k\mu + \dfrac{k^2\sigma^2}{2}\right) で与えられる。

中央値と最頻値

対数正規分布では、期待値・中央値・最頻値がすべて異なる値をとる。

【中央値の導出】 Y \sim N(\mu, \sigma^2) の中央値は \mu である。X = e^Y は単調増加変換なので、X の中央値は e^\mu となる。

【最頻値の導出】 確率密度関数 f(x) を x で微分して 0 とおく。

計算を進めると \log x = \mu - \sigma^2 が得られ、x = e^{\mu - \sigma^2} が最頻値となる。

これらの大小関係は常に

となり、分布が右に歪んでいることを反映している。

累積分布関数

対数正規分布の累積分布関数は、標準正規分布の累積分布関数 \Phi を用いて表される。

【導出】 X = e^Y、Y \sim N(\mu, \sigma^2) より

計算例

X \sim \Lambda(0, 1)（\mu = 0, \sigma = 1）のとき、各種統計量を求める。

期待値：

分散：

中央値：

最頻値：

P(X \leq 1)：

中央値が 1 であることと整合している。

練習問題

まとめ

Pythonで実装する

Pythonを使って対数正規分布の計算やシミュレーションを行う。

import numpy as np
from scipy import stats

print("=== 対数正規分布 Λ(μ=0, σ²=1) ===")

# scipy.stats.lognorm のパラメータ
# s = σ (shape parameter)
# scale = exp(μ) (scale parameter)
mu, sigma = 0, 1
dist = stats.lognorm(s=sigma, scale=np.exp(mu))

# 期待値と分散（理論値）
E_theory = np.exp(mu + sigma**2 / 2)
V_theory = np.exp(2*mu + sigma**2) * (np.exp(sigma**2) - 1)
print(f"\n期待値: {dist.mean():.4f} (理論値: {E_theory:.4f})")
print(f"分散:   {dist.var():.4f} (理論値: {V_theory:.4f})")

# 中央値と最頻値
median_theory = np.exp(mu)
mode_theory = np.exp(mu - sigma**2)
print(f"\n中央値: {dist.median():.4f} (理論値: {median_theory:.4f})")
print(f"最頻値: {mode_theory:.4f}")

# 確率密度関数
print("\n確率密度関数の値:")
for x in [0.5, 1.0, 2.0, 3.0]:
    print(f"  f({x}) = {dist.pdf(x):.4f}")

# 累積分布関数
print("\n累積分布関数:")
for x in [0.5, 1.0, 2.0, 3.0]:
    print(f"  P(X ≤ {x}) = {dist.cdf(x):.4f}")

# パラメータを変えた場合
print("\n=== パラメータによる比較 ===")
params = [(0, 0.5), (0, 1.0), (0, 1.5)]
print(f"{'μ':>5} {'σ':>5} {'E[X]':>10} {'V[X]':>12} {'中央値':>10} {'最頻値':>10}")
print("-" * 55)
for mu, sigma in params:
    d = stats.lognorm(s=sigma, scale=np.exp(mu))
    E = np.exp(mu + sigma**2 / 2)
    V = np.exp(2*mu + sigma**2) * (np.exp(sigma**2) - 1)
    mode = np.exp(mu - sigma**2)
    print(f"{mu:>5} {sigma:>5} {E:>10.4f} {V:>12.4f} {np.exp(mu):>10.4f} {mode:>10.4f}")

# 正規分布との関係を確認
print("\n=== 正規分布との関係 ===")
np.random.seed(42)
n = 100000
Y = np.random.normal(mu, sigma, n)  # Y ~ N(0, 1)
X = np.exp(Y)  # X ~ Λ(0, 1)

print(f"サンプル数: {n}")
print(f"log(X) の平均: {np.mean(np.log(X)):.4f} (理論値: {mu})")
print(f"log(X) の分散: {np.var(np.log(X)):.4f} (理論値: {sigma**2})")
print(f"X の標本平均: {np.mean(X):.4f} (理論値: {E_theory:.4f})")
print(f"X の標本中央値: {np.median(X):.4f} (理論値: {median_theory:.4f})")

scipy.stats.lognorm では、パラメータ s が \sigma、scale が e^\mu に対応することに注意する。シミュレーションにより、\log X が正規分布に従うことが確認できる。