t分布

t 分布（t-distribution）は、母分散が未知のときの母平均の推定・検定において中心的な役割を果たす分布である。正規分布と似た釣鐘型の形状をもつが、裾が重い（tail が厚い）という特徴がある。

t 分布はウィリアム・ゴセット（William Gosset）がギネスビール醸造所での品質管理研究で発見し、「Student」というペンネームで発表したことから、スチューデントの t 分布とも呼ばれる。小標本の統計的推測において不可欠な分布であり、t 検定、回帰係数の検定、信頼区間の構成など、統計学の幅広い分野で用いられる。

定義

Z \sim N(0, 1)（標準正規分布）、Y \sim \chi^2(n)（自由度 n のカイ二乗分布）とし、Z と Y が互いに独立のとき、

が従う分布を自由度 n の t 分布といい、t(n) で表す。

ここで \Gamma(\cdot) はガンマ関数である。係数部分はベータ関数を用いて \dfrac{1}{\sqrt{n}B\left(\dfrac{n}{2}, \dfrac{1}{2}\right)} とも表せる。

グラフ

自由度 n を変えたときの t 分布の確率密度関数を、標準正規分布と比較して示す。

自由度が小さいとき（n = 1, 2）は中央が低く裾が重い形状になる。自由度 1 の t 分布はコーシー分布と一致する。自由度が大きくなるにつれて標準正規分布に近づき、n = 30 ではほぼ正規分布と重なっている。

期待値と分散

T \sim t(n) の期待値と分散は、自由度によって存在条件が異なる。

分散 V[T] = \dfrac{n}{n-2} は n > 2 で常に 1 より大きく、n \to \infty で 1 に収束する。これは t 分布が正規分布より裾が重いことを反映している。

例えば、n = 5 のとき V[T] = \dfrac{5}{3} \approx 1.67、n = 30 のとき V[T] = \dfrac{30}{28} \approx 1.07 となる。

特殊な場合

t 分布は自由度によって特殊な分布と関係する。

実用上、n \geq 30 では t 分布を標準正規分布で近似することが多い。パーセント点で比較すると、上側 5% 点は t(5) で 2.015、t(30) で 1.697、N(0,1) で 1.645 である。

t 統計量と標本平均

t 分布が統計的推測で重要な理由は、母分散が未知のときの標本平均の標準化が t 分布に従うことにある。

X_1, X_2, \ldots, X_n が正規分布 N(\mu, \sigma^2) からの無作為標本とする。標本平均を \bar{X}、不偏分散を s^2 = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2 とするとき、

この結果は、母平均 \mu の信頼区間の構成や、\mu = \mu_0 の仮説検定（t 検定）に用いられる。母分散 \sigma^2 が既知の場合は標準正規分布を用いるが、未知の場合は不偏分散 s^2 で代用するため、t 分布が必要になる。

非心 t 分布

t 分布の定義において、分子の標準正規分布を平均が 0 でない正規分布に置き換えると、非心 t 分布が得られる。

Z \sim N(\lambda, 1)、Y \sim \chi^2(n) が独立のとき、

が従う分布を自由度 n、非心度 \lambda の非心 t 分布といい、t(n, \lambda) で表す。\lambda = 0 のとき、通常の t 分布 t(n) に一致する。

非心 t 分布は、t 検定の検出力（帰無仮説が偽のときに正しく棄却する確率）の計算に用いられる。具体的には、\mu \neq 0 のとき、t 統計量 \dfrac{\sqrt{n}\bar{X}}{s} は自由度 n-1、非心度 \dfrac{\sqrt{n}\mu}{\sigma} の非心 t 分布に従う。

数表

t 分布の上側パーセント点 t_\alpha(n)（P(T > t_\alpha) = \alpha となる値）を示す。

例えば、自由度 10 で上側 5% 点は t_{0.05}(10) = 1.812 である。両側 5% 点（上側 2.5%）は t_{0.025}(10) = 2.228 である。n = \infty の行は標準正規分布のパーセント点である。

計算例

自由度 10 の t 分布について計算する。

【期待値と分散】

【上側パーセント点】 t(10) の上側パーセント点は数表または統計ソフトから

【確率の計算】 T \sim t(10) のとき、P(|T| > 2) を求める。対称性より

練習問題

まとめ

Pythonで実装する

Pythonを使って t 分布の計算やシミュレーションを行う。

import numpy as np
from scipy import stats

print("=== t 分布 ===")

# 自由度 n = 10
n = 10
t_dist = stats.t(n)

print(f"\n【t({n})の基本統計量】")
print(f"期待値: {t_dist.mean():.1f} (理論値: 0)")
print(f"分散: {t_dist.var():.4f} (理論値: {n/(n-2):.4f})")

# 上側パーセント点
print(f"\n上側パーセント点:")
for alpha in [0.10, 0.05, 0.025, 0.01]:
    q = t_dist.ppf(1 - alpha)
    print(f"  t_{{{alpha}}}({n}) = {q:.3f}")

# 確率の計算
print(f"\n確率の計算:")
print(f"P(T ≤ 1.5) = {t_dist.cdf(1.5):.4f}")
print(f"P(|T| > 2) = {2 * (1 - t_dist.cdf(2)):.4f}")

# 正規分布との比較
print("\n【正規分布への収束】")
z_005 = stats.norm.ppf(0.95)
print(f"N(0,1)の上側5%点: {z_005:.3f}")
for df in [5, 10, 30, 100]:
    t_005 = stats.t(df).ppf(0.95)
    print(f"t({df})の上側5%点: {t_005:.3f}")

# t 統計量のシミュレーション
print("\n【t 統計量のシミュレーション】")
mu, sigma = 50, 10
sample_size = 16
n_sim = 10000

t_stats = []
for _ in range(n_sim):
    sample = np.random.normal(mu, sigma, sample_size)
    x_bar = np.mean(sample)
    s = np.std(sample, ddof=1)
    t_stat = (x_bar - mu) / (s / np.sqrt(sample_size))
    t_stats.append(t_stat)

t_stats = np.array(t_stats)
print(f"t統計量の標本平均: {np.mean(t_stats):.4f} (理論値: 0)")
print(f"t統計量の標本分散: {np.var(t_stats):.4f} (理論値: {(sample_size-1)/(sample_size-3):.4f})")

# 非心 t 分布
print("\n【非心 t 分布】")
n_nc, lambda_nc = 10, 2
nc_t = stats.nct(n_nc, lambda_nc)
print(f"非心t(n={n_nc}, λ={lambda_nc}):")
print(f"  期待値: {nc_t.mean():.4f}")
print(f"  分散: {nc_t.var():.4f}")

scipy.stats.t で t 分布を扱える。シミュレーションでは、正規母集団から標本を抽出し、t 統計量を計算している。自由度 n-1 = 15 のとき、t 統計量の理論的な分散は \dfrac{15}{13} \approx 1.154 であり、シミュレーション結果と一致している。非心 t 分布は scipy.stats.nct を使用する。