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統計学

確率分布の特性値（歪度・尖度・変動係数）

更新日: 2025年12月

確率分布を特徴づける指標として、期待値（平均）と分散はよく知られている。しかし、これら2つの指標だけでは分布の「形」を完全には表現できない。

たとえば、年収の分布と身長の分布を考えてみよう。どちらも平均と分散で要約できるが、年収の分布は右に長い裾を持ち、身長の分布は左右対称に近い形をしている。このような分布の形状の違いを数値化するのが、歪度（わいど）と尖度（せんど）である。

また、「標準偏差10」という値は、平均が100のときと平均が1000のときでは意味が異なる。平均に対する相対的なばらつきを表すのが変動係数である。

本記事では、これらの特性値について定義から計算方法まで詳しく解説する。

位置の指標：期待値・中央値・最頻値

分布の「中心」を表す代表値には、主に3種類ある。

期待値（平均）

確率変数 X の期待値（expected value）は、確率で重み付けした値の総和である。

\begin{aligned} \text{離散型：} \quad E[X] &= \sum_x x \cdot p(x) \\[8pt] \text{連続型：} \quad E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx \end{aligned}

中央値

中央値（median）は、累積分布関数 F(x) において F(a) = 0.5 となる値 a である。データを小さい順に並べたとき、ちょうど真ん中に位置する値に対応する。

最頻値（モード）

最頻値（mode）は、確率関数または確率密度関数が最大となる値である。最も出現しやすい値を表す。

3つの指標の関係

左右対称かつ単峰な分布では、期待値・中央値・最頻値はすべて一致する。しかし、分布が非対称な場合は異なる値をとる。

対称分布 期待値=中央値=最頻値 右に歪んだ分布 最頻値 中央値 期待値
図1: 対称分布と非対称分布における代表値の関係
ポイント

右に裾が長い分布（正の歪み）では：最頻値 < 中央値 < 期待値
左に裾が長い分布（負の歪み）では：期待値 < 中央値 < 最頻値

散らばりの指標：変動係数

標準偏差はデータの散らばりを表す代表的な指標だが、測定単位や平均の大きさに依存するという欠点がある。たとえば、象の体重の標準偏差とハムスターの体重の標準偏差を単純に比較することはできない。

変動係数（coefficient of variation, CV）は、標準偏差を平均で割った値であり、平均に対する相対的なばらつきを表す。

変動係数の定義
CV = \frac{\sigma}{\mu} = \frac{\sqrt{V[X]}}{E[X]}

変動係数は無次元量であり、単位が異なるデータ間でもばらつきの程度を比較できる。

計算例：製品の品質管理

ある工場で2種類の製品の重量を測定した。

製品 測定値 (g) 平均 標準偏差 変動係数
製品A（大型） 495, 502, 498, 505, 500 500.0 g 3.81 g 0.76%
製品B（小型） 48, 52, 49, 51, 50 50.0 g 1.58 g 3.16%

標準偏差だけを見ると製品Aの方がばらつきが大きいように見えるが、変動係数で比較すると製品Bの方が相対的なばらつきが大きいことがわかる。つまり、製品Bの製造工程の方が品質管理上の課題があると判断できる。

注意

変動係数は、平均が0に近い場合や負の値を取りうる場合には適切に定義できない。主に非負の値をとるデータに対して使用する。

分布の形状：歪度と尖度

歪度（わいど）

歪度（skewness）は、分布の非対称性を表す指標である。3次の中心モーメントを標準偏差の3乗で基準化して定義される。

歪度の定義
\text{歪度} = \frac{E[(X - \mu)^3]}{\sigma^3}

歪度の解釈は以下の通りである。

  • 歪度 = 0：左右対称な分布
  • 歪度 > 0：右に裾が長い（正の歪み）
  • 歪度 < 0：左に裾が長い（負の歪み）

歪度が0でない場合、分布の裾の長い方向に外れ値が存在しやすいことを意味する。年収や資産額の分布は典型的な正の歪みを持つ例である。

尖度（せんど）

尖度（kurtosis）は、分布の裾の重さを表す指標である。4次の中心モーメントを分散の2乗で基準化して定義される。

尖度の定義
\text{尖度} = \frac{E[(X - \mu)^4]}{\sigma^4}

尖度の解釈は以下の通りである。

  • 正規分布の尖度は3（基準値）
  • 尖度 > 3：正規分布より裾が重い（外れ値が出やすい）
  • 尖度 < 3：正規分布より裾が軽い
注意

正規分布を基準として「尖度 − 3」を超過尖度と呼び、これを尖度の定義とする文献もある。その場合、正規分布の超過尖度は0となる。

尖度の違い x -3 -2 -1 0 1 2 3 正規分布（尖度=3） 裾が重い分布（尖度>3）
図2: 尖度の違い。裾が重い分布（赤）は正規分布（青）より両端の確率が高い

上図では、赤い実線が尖度の高い分布（裾が重い分布）を表している。中心付近ではほぼ同じ形をしているが、裾の部分で大きな差がある。尖度が高い分布では、極端な値（外れ値）が発生する確率が正規分布よりも高くなる。

代表的な分布の歪度・尖度

分布 歪度 尖度 特徴
正規分布 0 3 基準となる対称分布
一様分布 0 1.8 裾が軽い（外れ値なし）
指数分布 2 9 右に歪み、裾が重い
t分布 (df=3) 0 ∞（理論値） 対称だが裾が非常に重い

計算例

次のデータについて、歪度と尖度を計算してみよう。

\text{データ: } 1, 2, 3, 4, 5 \quad (n = 5)

ステップ1：平均の計算

\mu = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3

ステップ2：各データの偏差

x_i x_i - \mu (x_i - \mu)^2 (x_i - \mu)^3 (x_i - \mu)^4
1−24−816
2−11−11
30000
41111
524816
合計010034

ステップ3：中心モーメントの計算

\begin{aligned} m_2 &= \frac{10}{5} = 2 \\[5pt] m_3 &= \frac{0}{5} = 0 \\[5pt] m_4 &= \frac{34}{5} = 6.8 \end{aligned}

ステップ4：歪度と尖度の計算

\begin{aligned} \text{歪度} &= \frac{m_3}{m_2^{3/2}} = \frac{0}{2^{1.5}} = \frac{0}{2.83} = 0 \\[10pt] \text{尖度} &= \frac{m_4}{m_2^2} = \frac{6.8}{4} = 1.7 \end{aligned}
ポイント

このデータは完全に対称なので歪度は0である。また、尖度は1.7で正規分布の3より小さく、裾が軽い分布であることがわかる。

練習問題

問1. ある試験の得点データが以下の通りであった。変動係数を計算し、ばらつきの程度を評価せよ。
  • 数学：平均75点、標準偏差15点
  • 英語：平均60点、標準偏差18点

各科目の変動係数を計算する。

\begin{aligned} \text{数学の変動係数} &= \frac{15}{75} = 0.20 \quad (20\%) \\[5pt] \text{英語の変動係数} &= \frac{18}{60} = 0.30 \quad (30\%) \end{aligned}

英語の方が変動係数が大きく、平均に対する相対的なばらつきが大きい。つまり、英語の成績の方が個人差が大きいといえる。

問2. 次のデータの歪度を計算せよ。
\text{データ: } 2, 4, 4, 6 \quad (n = 4)

ステップ1：平均を計算する。

\mu = \frac{2 + 4 + 4 + 6}{4} = \frac{16}{4} = 4

ステップ2：偏差と累乗を計算する。

x_ix_i - \mu(x_i - \mu)^2(x_i - \mu)^3
2−24−8
4000
4000
6248
合計080

ステップ3：中心モーメントを計算する。

m_2 = \frac{8}{4} = 2, \quad m_3 = \frac{0}{4} = 0

ステップ4：歪度を計算する。

\text{歪度} = \frac{m_3}{m_2^{3/2}} = \frac{0}{2.83} = 0

このデータは平均4を中心に対称（2と6が対称、4が2つ）なので、歪度は0となる。

問3. 次の分布について、歪度が正・負・ゼロのいずれかを答えよ（計算不要）。
  1. 所得の分布（少数の高所得者がいる）
  2. 製造誤差の分布（目標値を中心に対称）
  3. 100点満点の試験で平均95点（ほとんどが高得点、少数が低得点）
  1. 所得：正の歪度（右に裾が長い。少数の高所得者が平均を引き上げる）
  2. 製造誤差：歪度ゼロ（対称分布）
  3. 高得点試験：負の歪度（左に裾が長い。少数の低得点者がいる）

まとめ

特性値 定義 意味 基準
変動係数 CV \dfrac{\sigma}{\mu} 平均に対する相対的なばらつき 大きいほどばらつきが大きい
歪度 \dfrac{E[(X-\mu)^3]}{\sigma^3} 分布の非対称性 0で対称、正で右に歪む
尖度 \dfrac{E[(X-\mu)^4]}{\sigma^4} 裾の重さ 正規分布で3、大きいほど裾が重い
使い分けのポイント

異なる単位のばらつき比較 → 変動係数
分布が対称かどうか → 歪度
外れ値の出やすさ → 尖度

Pythonで実装する

distribution_characteristics.py 
import numpy as np
from scipy import stats

# サンプルデータ
data = np.array([1, 2, 3, 4, 5])

# 基本統計量
mean = np.mean(data)
std = np.std(data, ddof=0)  # 母標準偏差

print(f"平均: {mean}")
print(f"標準偏差: {std:.4f}")

# 変動係数
cv = std / mean
print(f"変動係数: {cv:.4f}")

# 歪度と尖度（scipy使用）
skewness = stats.skew(data, bias=True)  # 母歪度
kurtosis = stats.kurtosis(data, fisher=False, bias=True)  # 母尖度

print(f"歪度: {skewness:.4f}")
print(f"尖度: {kurtosis:.4f}")

# 手計算での確認
m2 = np.mean((data - mean)**2)
m3 = np.mean((data - mean)**3)
m4 = np.mean((data - mean)**4)

print(f"\n--- 手計算 ---")
print(f"2次中心モーメント: {m2}")
print(f"3次中心モーメント: {m3}")
print(f"4次中心モーメント: {m4}")
print(f"歪度: {m3 / m2**1.5:.4f}")
print(f"尖度: {m4 / m2**2:.4f}")
平均: 3.0 標準偏差: 1.4142 変動係数: 0.4714 歪度: 0.0000 尖度: 1.7000 --- 手計算 --- 2次中心モーメント: 2.0 3次中心モーメント: 0.0 4次中心モーメント: 6.8 歪度: 0.0000 尖度: 1.7000

様々な分布の比較

compare_distributions.py 
import numpy as np
from scipy import stats

np.random.seed(42)
n = 10000

# 各分布からサンプリング
normal = np.random.normal(0, 1, n)
exponential = np.random.exponential(1, n)
uniform = np.random.uniform(-1, 1, n)

distributions = {
    "正規分布": normal,
    "指数分布": exponential,
    "一様分布": uniform
}

print(f"{'分布':<12} {'歪度':>8} {'尖度':>8}")
print("-" * 30)

for name, data in distributions.items():
    skew = stats.skew(data)
    kurt = stats.kurtosis(data, fisher=False)
    print(f"{name:<12} {skew:>8.4f} {kurt:>8.4f}")
分布 歪度 尖度 ------------------------------ 正規分布 0.0020 3.0265 指数分布 1.9974 8.8194 一様分布 0.0163 1.8092